Marin Mersenne de l’ordre des Minimes.
En bref
En mathématiques et plus précisément en arithmétique, un nombre de Mersenne est un nombre de la forme 2n − 1 (souvent noté Mn), où n est un entier naturel non nul ; un nombre de Mersenne premier (ou nombre premier de Mersenne) est donc un nombre premier de cette forme.
L’essentiel
L’essentiel
Nombre premier de Mersenne
- est né de l'étude des
Un nombre parfait est égal à la somme de ses diviseurs stricts. Euclide montrait déjà qu’un nombre de Mersenne premier permet d’en construire un ; Euler prouvera que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.
- exige
Si un nombre de Mersenne est premier, son exposant l’est aussi. Mais la réciproque est fausse : un exposant premier peut donner un nombre composé. Il faut donc affûter les critères de sélection.
Exemple11 est premier, mais M11 = 2 047 = 23 × 89 ne l’est pas.
- se vérifie par
Édouard Lucas met au point en 1878 une méthode pour tester ces nombres, améliorée par Derrick Lehmer dans les années 1930. Ce test exceptionnellement simple explique pourquoi les plus grands nombres premiers connus sont des nombres de Mersenne.
- doit son nom à
Ce religieux érudit du XVIIe siècle a donné son nom à ces nombres. Il en a aussi dressé une liste jusqu’à l’exposant 257, qui s’est révélée fausse.
ExempleSa liste incluait par erreur 67 et 257, et omettait 61, 89 et 107.
Marin Mersenne - reste une énigme ouverte
Seuls 52 nombres de Mersenne premiers sont connus. On conjecture qu’il en existe une infinité, sans savoir le démontrer. Leur recherche passe aujourd’hui par le calcul collaboratif du projet GIMPS.
Quiz
Quels nombres ont historiquement motivé l’étude des nombres premiers de Mersenne ?
Autour de Nombre premier de Mersenne
Pour aller plus loin
Rembrandt, Philosophe en méditation, 1632
PhilosophieCogito ergo sumRené DescartesCogito, ergo sum est une locution latine signifiant « Je pense, donc je suis ».
Rembrandt, La Leçon d’anatomie du docteur Tulp, 1632
Discours de la méthodeRené DescartesPublié en 1637, ce texte de René Descartes expose une méthode pour « bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences ».
Frans Hals, Danish: René Descartes (1596-1650) Portrait of René Descartes, 1649
Méditations métaphysiquesRené DescartesLes Méditations métaphysiques (ou Méditations sur la philosophie première) sont une œuvre philosophique de René Descartes, parue pour la première fois en lat…
Sources
- Nombre de Mersenne premier — Wikipédia — CC BY-SA 4.0
- Q186875 — Wikidata — CC0 1.0
Texte sous licence CC BY-SA 4.0.
Wikidata : Q186875
Crédits des images
Évocation — Marin Mersenne de l'ordre des Minimes. — Public domain — Claude Duflos · Commons